Los fractales, descubiertos y propuestos por Mandelbrot durante el siglo XX son uno de los grandes hallazgos matemáticos recientes. Aunque dar una definición exacta de qué es un fractal es complejo, tienen dos características clave: son autosimilares y siguen un algoritmo recursivo.
Que sean autosimilares quiere decir que su forma es hecha a partir de copias más pequeñas de la misma figura. Hasta el infinito. Se relacionan por tanto estrechamente con el número de Fibonacci y están presentes por todas partes en la naturaleza, desde la rama de un árbol a como cae el agua en las cascadas.
En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.
Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:
Ahora, es interesante mencionar el hecho de que toda el universo estás formado en base a modelos de fractal, desde los espirales de una galaxia, hasta el pistilo de una flor, cada una de las cosas que existen dentro de la naturaleza forman patrones de repeticiones o fractales.
Algunos ejemplos son:
Fractales y naturaleza
De esta forma, las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).
Fractales y matemática
Pero además las formas fractales no solo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos. Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
Fractales en el arte
La música puede contener formas fractales. Algunas obras clásicas de Beethoven, Bach y Mozart son ejemplos representativos según reveló un estudio. El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.
Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composición se llaman «micromodos», o pequeños grupos de tres notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal o vertical. A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales específicas, que son determinadas por sucesiones de fractales.
